пятница, 9 декабря 2016 г.

Центральная предельная теорема

Урок: Центральная предельная теорема

Транскрибация урока: [БЕЗ_ЗВУКА] Это видео про центральную предельную теорему, одну из важнейших теорем статистики. Пусть у нас есть некая случайная величина X с функцией распределения F. И мы имеем ее выборку объема n. Посчитаем по этой выборке выборочное среднее — X с чертой. Будем использовать нижний индекс n, чтобы подчеркнуть, что выборка именно такого объема. Какое распределение имеет эта новая случайная величина — выборочное среднее? И как оно связано с исходным распределением F? Именно на эти вопросы мы и будем сейчас отвечать. Давайте проведем эксперимент. Возьмем случайную величину вот с таким странным, ни на что не похожим распределением. Это распределение абсолютно синтетическое, это смесь двух равномерных и одного треугольного распределения. И будем делать следующим образом. Будем из этой случайной величины брать выборку объема n, считать по этой выборке выборочное среднее, записывать это полученное значение. Повторим этот эксперимент много-много-много раз, например, миллион. И построим гистограмму полученных выборочных средних. Посмотрим, на что она похожа. Перед вами гистограммы, построенные по выборкам объема 2. Мы видим, что по сравнению с исходной плотностью случайной величины эта гистограмма выглядит более гладкой, острые углы на ней начинают постепенно расплываться. И этот процесс продолжается с увеличением выборки. Вот так выглядит гистограмма выборочных средних, построенных по выборкам объема 3. На ней уже практически не осталось острых углов. При объеме выборки 5 гистограмма окончательно становится унимодальной. А дальнейшее увеличение выборки не влияет на форму гистограммы, она становится только более узкой, более сконцентрированной вокруг среднего значения — нуля. Не напоминает ли вам это распределение что-нибудь знакомое? [ЗВУК] Действительно, распределение выборочных средних неплохо можно описать нормальным, именно это и утверждает центральная предельная теорема. Если у вас есть случайная величина X из практически любого распределения и у вас есть выборка объема n из нее, то выборочное среднее, построенное по этой выборке, можно приблизить нормальным распределением со средним значением, которое совпадает с математическим ожиданием исходной случайной величины и с дисперсией, которая равна дисперсии исходной случайной величины, поделенной на n. Чем больше n, тем точнее эта нормальная аппроксимация, тем лучшее распределение описывается нормальным. Интересно, что этот результат справедлив не только для непрерывных распределений, но даже для дискретных. Давайте посмотрим на примере биномиального распределения, как это работает. Перед вами функция вероятности биномиального распределения с параметрами 15 и 0,4. То есть вы как будто проводите 15 независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых вероятность успеха равна 0,4. Повторим эксперимент аналогично предыдущему эксперименту со странной случайной величиной. Вот распределение выборочных средних, построенное по выборкам объема 2. Объем 3, объем 5, 10, 30. Происходит ровно все то же самое. Распределение становится все более и более гладким и все более и более похожим на нормальное. Центральная предельная теорема работает. Еще один эксперимент. Возьмем ту же самую биномиальную случайную величину, но с параметром p, равным не 0,4, а 0,01. Функция вероятности этой случайной величины выглядит вот так: высота столбиков в правой части гистограммы здесь настолько маленькая, что на графике ничего не видно, поэтому давайте будем смотреть только на левую часть графика. Вот эта гистограмма. Прекрасно. Давайте повторять эксперимент. Вот так выглядит распределение выборочных средних, построенное по выборкам объема 2, 3, 5, 10, 30. Обратите внимание, что исходное распределение не позволяет распределению выборочных средних быстро сходиться к нормальному. Даже по выборке объема 30, как вы видите, гистограмма выборочных средних не очень хорошо может быть описана нормальным законом. Во-первых, потому что с левой стороны мешает граница. Во-вторых, даже относительно середины, относительно максимума этой гистограммы, распределение не очень симметрично. Центральная предельная теорема хорошо работает, если исходное распределение не слишком скошено. Чем сильнее оно скошено, тем больший объем выборки нужен для того, чтобы достичь хорошего качества нормальной аппроксимации. Есть простое эмпирическое правило: если распределение не очень скошенное, достаточно иметь выборку объема 30, для того чтобы точность нормальной аппроксимации была хорошей. Естественно, это правило очень неточное. Во-первых, не очень понятно, что значит «не слишком скошено», во-вторых, непонятно, что значит «хорошо» в этом контексте. Но это правило, которым можно с той или иной точностью пользоваться на практике. Итак, мы познакомились с центральной предельной теоремой. Центральная предельная теорема — это важнейшая теорема статистики. В следующем видео мы узнаем, как ее можно использовать, и будем с ее помощью строить доверительные интервалы.

Часть: Статистики

Модуль: Случайность

Описание модуля:  На этой неделе мы освоим базовые концепции теории вероятностей и статистики, которые необходимы для понимания механизма работы практически всех методов анализа данных. Мы разберёмся с самыми популярными распределениями, узнаем, какие явления ими описываются и какими статистиками оцениваются их параметры, а также научимся строить доверительные интервалы.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5