среда, 7 декабря 2016 г.

Важные характеристики распределений

Урок: Важные характеристики распределений

Транскрибация урока: В предыдущем видео мы узнали, как по выборкам оцениваются законы распределения случайных величин, будь то функция вероятности, функция распределения или плотности. Часто интерес представляет не распределение в целом, а какие-то его отдельные важные параметры. В этом видео мы обсудим, какие параметры самые важные, а в следующем узнаем, как именно они оцениваются по выборкам. Первый и наиболее часто используемый класс параметров — это среднее. Понятие среднего — нестрогое, его можно формализовать разными способами. Способ № 1 — математическое ожидание. Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется как сумма всех значений, которые она принимает, взятая с весами, равными вероятностям этих значений. Непрерывная случайная величина принимает несчетное множество значений, поэтому ее математическое ожидание определено как интеграл по всей области определения случайной величины от x, умноженного на f(x) — плотность распределения. Следующий способ формализации понятия среднего — это медиана. Чтобы определить медиану, введем сначала понятие квантиля. Квантилем порядка α называется такая величина Xα, что наша случайная величина X принимает значения слева от нее на числовой оси с вероятностью не меньше α и справа с вероятностью не меньше, чем (1 − α), а медиана — это вовсе не то, к чему вы привыкли, а всего лишь квантиль порядка 0,5, то есть такое значение, что наша случайная величина слева и справа от него попадает с вероятностями, близкими к 1/2. Третий способ формализации понятия среднего — это мода. Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение. То есть значение, которое она принимает с наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной величины мы моду так определить не можем, поскольку каждое из значений она принимает с вероятностью 0, поэтому мода — это точка, в которой максимума достигает плотность распределения непрерывной случайной величины. Если мы имеем дело со случайной величиной из нормального распределения с параметрами μ и σ квадрат, то ее математическое ожидание, медиана и мода в точности совпадают и равны μ. Это одно из волшебных свойств нормального распределения. Но так происходит далеко не всегда. Например, если наша случайная величина распределена равномерно на отрезке ab, то ее математическое ожидание и медиана равны (a + b) пополам, то есть середине отрезка, а мода такой случайной величины однозначно не определена, поскольку у плотности, которую вы видите перед собой, нет максимума. То есть модой может быть любая точка на отрезке от a до b. В общем случае математическое ожидание, мода и медиана распределения не обязаны совпадать. Например, если вы имеете дело с распределением с вот такой плотностью, график которой двугорбый, или бимодальный, то ее мода — это точка, определяющая положение наибольшего горба, а математическое ожидание и медиана сдвинуты в сторону второго горба, причем математическое ожидание сдвинуто сильнее, чем медиана. Еще один класс параметров распределений — это параметры, описывающие разброс случайной величины, то есть то, насколько сильно они концентрируются вокруг своего математического ожидания. Наиболее часто используемый из таких параметров — это дисперсия, определяющаяся как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Корень из дисперсии часто используется сам по себе и имеет свое название — среднеквадратическое отклонение. Еще один параметр, оценивающий разброс распределения, — это интерквартильный размах. Это всего лишь разность 75-процентного и 25-процентного квантилей, или квартилей, как они еще называются, потому что расположены по четвертям. Если вы имеете дело со случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром λ, то дисперсия ее равна λ. Интересно, что ее матожидание тоже равно λ. Это важное свойство распределения Пуассона — его математическое ожидание и дисперсия совпадают. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами μ и σ квадрат дисперсия равна σ квадрат. Таким образом, мы теперь знаем значения обоих параметров нормального распределения. Первый отвечает за математическое ожидание, а второй — за дисперсию. Различные параметры разброса не совпадают друг с другом даже для нормального распределения. Чтобы посмотреть, как это работает, давайте на графике плотности нормального распределения отложим интервалы, кратные среднеквадратическому отклонению σ. В интервал (μ ± σ) попадает 68 % вероятностной массы нормального распределения, то есть в этом интервале случайная величина, нормально распределенная, реализуется с вероятностью 68 %. В то время как в интервале, соответствующем интерквартильному размаху вокруг среднего, случайная величина из нормального распределения реализуется с вероятностью 50 %, просто по определению интерквартильного размаха. В интервал (μ ± 2σ) наша нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 95 %. Это правило называется правилом двух сигм. Другой его вариант — правило трех сигм — говорит, что в интервал (μ ± 3σ) попадает 99,7 % вероятностной массы нормального распределения. То есть нормально распределенная случайная величина лежит на (μ ± 3σ) с вероятностью, довольно-таки близкой к единице. Итак, в этом видео мы разобрались, какие параметры оценивают среднее и разброс распределений, а также мимоходом узнали, как работают правила двух и трех сигм. В следующем видео мы разберемся с тем, как эти параметры распределений оцениваются по выборкам.

Часть: Статистики

Модуль: Случайность

Описание модуля:  На этой неделе мы освоим базовые концепции теории вероятностей и статистики, которые необходимы для понимания механизма работы практически всех методов анализа данных. Мы разберёмся с самыми популярными распределениями, узнаем, какие явления ими описываются и какими статистиками оцениваются их параметры, а также научимся строить доверительные интервалы.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5