понедельник, 28 ноября 2016 г.

Приближение матрицей меньшего ранга

Урок: Приближение матрицей меньшего ранга

Транскрибация урока: В этом видео мы увидим матричные разложения немного с другого ракурса. А начнем мы говорить про приближение матрицы, некоторой другой матрицы меньшего ранга. Для начала давайте сообразим все же, что такое ранг. Ну с этим понятием мы уже знакомились, и интуитивно понятно, что матрица задает некоторые отображения, и ранг каким-то образом описывает «сложность» этого отображения. Если более формально, то ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых столбцов или строк матрицы. Можно ввести ранг и по-другому. Можно сказать, что ранг — это максимальный размер подматрицы с ненулевым определителем. Также полезно заметить, что если размер матрицы X — m на n, то ранг матрицы будет точно не больше, чем минимум из этих двух чисел, что в целом понятно из определения. В случае, если мы рассматриваем произведение двух матриц, ну например, матрица A имеет размер m на k, матрица B имеет размер k на n, то их произведение конечно имеет размер m на n. Однако, если число k очень маленькое, ну то есть меньше m и n, то ранг этого произведения тоже не может быть больше, чем k. Итак, зачем нам может быть нужно приближать матрицу матрицей меньшего ранга? А у нас может быть предположение, что матрица, которую мы видим в действительности, не совсем правильная. Ну например, это могут быть какие-нибудь рейтинги фильмов или какие-нибудь признаки. И мы можем думать, что там есть какой-то шум. И нам хочется восстановить более простую матрицу, которая будет достаточно близка к той, которую мы пронаблюдали. Один из способов это делать заключается в том, что мы не просто пытаемся подобрать матрицу меньшего ранга k, а мы представляем ее как произведение двух матриц U и V транспонированное таких размеров, чтобы ранг произведения был не больше, чем k. Но что значит «приблизить»? Что значит, что X будет примерно равно U умножить на V транспонированное? Ну просто нам нужно ввести некоторую норму на матрицах, сказать, что норма разности X − U * V транспонированное должна быть минимальной и подбирать матрицы U и V таким образом. Как ввести норму матрицы? На самом деле есть много способов. Один из них — это норма Фробениуса. Выглядит достаточно интуитивно. Нужно просто взять и просуммировать квадраты всех элементов матрицы и извлечь из этого всего корень. Таким образом, с нормой Фробениуса задача принимает следующий вид: U и V должны просто минимизировать сумму по всем i, j квадратов отклонения значений в матрице xᵢⱼ от значений в произведении матриц. Пример первый: преобразование признаков. Если исходная матрица X — это матрица с признаками некоторых объектов, то новая матрица U содержит столько же строчек, сколько и в ней, и тоже может интерпретироваться как матрица признаков объектов. При этом, если число k у нас намного меньше, чем n (исходное количество признаков), то мы еще и выполняем задачу понижения размерности пространства признаков. Так как по матрице U можно довольно неплохо восстановить матрицу X с помощью матрицы V, то мы выполняем задачу понижения размерности таким образом, что теряем как можно меньше полезной информации. Ну то есть практически все нужное нам сохраняем. Другой пример — задача рекомендаций. Пусть X — это матрица с оценками xᵢⱼ, поставленными пользователем i фильму j. Какие-то значения матрицы нам известны, а какие-то остаются для нас тайной. Возьмем простую модель. Будем приближать xᵢⱼ произведением uᵢ на vⱼ, где uᵢ отражает интересы пользователя, а vⱼ отражает некоторые признаки фильма. Возникает следующая идея: давайте настроим u и v таким образом, чтобы хорошо прогнозировать известные значения xᵢⱼ, а неизвестные значения спрогнозируем как произведение уже настроенных векторов признаков. Тогда задача немного модифицируется. Теперь мы берем сумму не по всем элементам ij, а только по тем, которые нам известны. Подведем итог. Ранг матрицы — это некоторый способ описать «сложность» матрицы. Матричными разложениями называют не только представление матрицы произведением других, но и приближение исходной матрицы некоторым произведениям, как правило, более низкого ранга. В следующем видео мы узнаем, как с этими матричными разложениями связано сингулярное разложение из прошлого видео.

Часть: Матричные разложения

Модуль: Оптимизация и матричные разложения

Описание модуля:  На этой неделе мы научимся с помощью методов оптимизации находить наилучшие значения параметров системы, чтобы минимизировать затраты или максимизировать точность предсказаний, а также познакомимся с матричными разложениями, которые используются при построении регрессионных моделей, для уменьшения размерности данных, в рекомендательных системах и в анализе текстов.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5