воскресенье, 13 ноября 2016 г.

Системы линейных уравнений

Урок: Системы линейных уравнений

Транскрибация урока: [БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы поговорим о системах линейных уравнений. Как вы помните, это некоторый набор из m уравнений, каждое из которых линейное, то есть представляет собой сумму координат вектора x с некоторыми коэффициентами. И каждое уравнение имеет правую часть b₁, b₂ и т.д. Все это можно записать через матрицы и векторы в виде: матрица A коэффициентов * на вектор неизвестных x = некоторому вектору b, который называется правой частью. Задачей является найти вектор x, удовлетворяющий этому уравнению. Возможно три случая: решений может быть бесконечно много, то есть бесконечно много векторов x удовлетворяют этому уравнению; решение может быть единственным; и наконец, решений может не существовать вообще. Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть два неизвестных: x и y. Тогда линейная комбинация этих неизвестных, то есть уравнение вида a₁x + a₂y = b будет задавать некоторую прямую на плоскости. Пусть сначала уравнение одно, оно будет задавать прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, будет решением. То есть решений бесконечно много. Добавим еще одно уравнение. Тогда нам нужно будет найти пересечение этих двух прямых, задаваемых первым и вторым уравнением. Это будет одна точка, решение единственное. Наконец, добавим третье уравнение. Будем иметь три прямых, при этом любые две из них пересекаются, но все три не сходятся в одной точке: решения не существует. Как понять, какой из этих случаев имеет место? Для этого нам понадобится ранг. Посчитаем ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы A, то есть к матрице A добавим в качестве последнего столбца b — правую часть нашей системы уравнений. Если ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы A, то хотя бы одно решение у системы есть. Если же ранг расширенной матрицы больше, то решения не существует, поскольку правая часть не выражается линейно через столбцы матрицы A. Если мы выяснили, что хотя бы одно решение есть, то продолжим. Вычислим ранг матрицы A и сравним его с числом неизвестных, то есть с размером вектора x. Если ранг равен числу неизвестных, то решение единственное. Если же ранг матрицы A меньше числа неизвестных, то решений будет бесконечно много. Что делать дальше? Если решений нет, то и делать нечего. Если решение единственное, то можно воспользоваться любым численным методом решения системы линейных уравнений. Например, в пакете SciPy реализованы некоторые такие методы. Если же решений бесконечно много, то обычно нужно ввести некоторые дополнительные требования: какое именно решение мы хотим найти. Например, мы можем хотеть найти такое решение системы ax = b, которое имеет наименьшую норму среди всех возможных решений. Если матрица A в системе квадратная, то есть удобный способ записать ее решение, записать решение этой системы линейных уравнений. Для этого нам понадобится понятие обратной матрицы. Матрица называется обратной к матрице A, если их произведение равно единичной матрице I, то есть матрице, в которой на диагонали стоят единицы, все остальные элементы равны 0. Обратная матрица обозначается, как A с верхним индексом −1. Обращение определено только для квадратных матриц. У прямоугольных обратных матриц не существует. Есть такая теорема, которая говорит, что обратная матрица у A существует тогда и только тогда, когда определитель A не равен 0. В этом случае найти саму обратную матрицу можно, например, численно, с помощью того же пакета SciPy в Python. Итак, если есть некоторая система линейных уравнений с квадратной матрицей A вида ax = b, то решение x записывается аналитически как обратная матрица к A * b, что сильно упрощает многие выкладки. Итак, что мы узнали. Системы линейных уравнений могут иметь ни одного, одно или бесконечно много решений, при этом выяснить, с каким именно случаем мы имеем дело в конкретной ситуации, можно с помощью понятия ранга матрицы A, расширенной матрицы A и т.д. Решать систему можно численно на компьютере. Если матрица квадратная, то решение можно выразить через обратную матрицу к матрице A в системе. Далее мы с вами поговорим о некоторых специальных классах матриц.

Часть: Линейная алгебра. Матрицы

Модуль: Библиотеки Python и линейная алгебра

Описание модуля: На этой неделе мы познакомимся с Python-библиотеками, содержащими большое количество полезных инструментов: от быстрых операций с многомерными массивами до визуализации и реализации различных математических методов. Кроме того, мы освоим линейную алгебру — основной математический аппарат для работы с данными: в большинстве задач данные можно представить в виде векторов или матриц.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5