четверг, 10 ноября 2016 г.

Зачем нужны матрицы?

Урок: Зачем нужны матрицы?

Транскрибация урока: [БЕЗ_ЗВУКА] Мы начинаем урок, посвященный матрицам. В нём мы поговорим о том, как они определяются, как вводить операции на них и как изучать их свойства. В первом видео поговорим об определении матриц. Давайте вспомним примеры задач, которые мы рассматривали раньше. Пусть есть некоторые бутылки вина, для каждой из которых мы хотим определить, из какого сорта винограда она сделана. Это может быть нужно, чтобы отличать и настоящие бутылки от подделок: те, которые сделаны из дорогого сорта винограда от тех, которые сделаны из непонятно чего. Данные про эти бутылки имеют двумерную структуру. Дело в том, что бутылок много, и каждая из них описывается набором чисел, или признаками, числовыми характеристиками этих бутылок. Такие двумерные структуры встречаются постоянно, поэтому нужно как-то их характеризовать. Они называются матрицами. Матрицы — это, по сути, таблица с числами. Они обычно обозначаются большими буквами, например A. Элементы же матрицы A большое обознаются буквами a малое с двумя нижними индексами: первый обозначает номер строки, второй — номер столбца. Например, a₁₂ — это элемент матрицы A в первой строке, втором столбце. В нашем примере это 7. a₃₁ — это элемент матрицы A в третьей строке и первом столбце. У нас это −3. Наша матрица имеет размер 4 на 5, то есть это четыре бутылки вина, каждая из которых характеризуется пятью признаками. Пространство всех таких матриц будем обозначать как красивую букву R с верхним индексом 4 умножить на 5. Зачем нужны матрицы? Например, они используются для работы с системами линейных уравнений. Представьте, что у нас есть четыре бутылки вина, и для каждой из них мы знаем, подлинная они или нет, сделана из правильного сорта винограда или из ка... из какого-то дешевого — это подделка. Можно закодировать это с помощью вектора. Например, если первая и четвертая бутылки подлинные, а вторая и третья — это подделки, то закодируем это вектором y с элементами 1, 0, 0 и 1, где 1 — это подлинность, 0 — это подделка. Мы можем потребовать следующее: будем производить линейную классификацию, то есть будем складывать значение всех признаков с некоторыми весами, которые мы обозначаем как w₁, w₂, w₃, w₄ и w₅, и будем требовать, чтобы такая взвешенная сумма равнялась номеру класса, то есть 1, если бутылка подлинная, 0, если это подделка. Получаем следующую систему уравнений. У неё могут быть некоторые проблемы. Например, она может быть неразрешима или, наоборот, у нее может быть слишком много решений, но с этим будем разбираться позже, в курсах на машинное обучение. А пока будем рассматривать именно такую систему уравнений. Они будут встречаться постоянно в нашем курсе в самых разных задачах. И оказывается, можно очень удобно и лаконично записать такую систему, используя векторы и матрицы. При этом решения таких систем также будут выражаться через векторы и матрицы. Но сначала разберемся с парой нюансов, а именно: давайте заметим, что вектор размера n — это, по сути, тоже матрица, у которой одна из размерностей равна 1. При этом вектор может быть как вектор-столбцом, то есть матрицей размера n на 1, так и вектором-строкой, то есть матрицей размера 1 на n. Давайте введём операцию умножения матрицы размера m на n на вектор-столбец размера n. Как это делается? Результатом умножения такой матрицы на такой вектор будет новый вектор длины m. При этом первый элемент этого вектора вычисляется как произведение каждого элемента первой строки матрицы A на каждый элемент вектора w, и потом это суммируется. Аналогично вторая.... второй элемент этого вектора — это произведение второй строки матрицы A на вектор w и затем снова суммирование, и так далее. Благодаря этому мы сможем матрично записать нашу систему линейных уравнений. Она будет выглядеть как A умножить на w равняется y — всё очень просто и кратко. Давайте потренируемся умножать матрицы на векторы. Умножим нашу матрицу признаков A на вектор весов с координатами 1, 2, 1, 0, 0. Найдем первый элемент их произведения. Он получается умножением первой строки матрицы на этот вектор, то есть 12 умножить на 1, плюс 2 умножить на 7, плюс 1 умножить на 21, плюс 0 умножить на 31, плюс 0 умножить на 11, или 47. Второй элемент вектора будет равен 55, третий — 63 и последний — 33. Давайте заметим ещё один момент. Пусть есть некоторая матрица размера m на n. Умножая её на некоторый вектор длины n, мы получаем на выходе вектор длины m. В нашем случае из длины... из вектора длины 5 мы получили вектор длины 4. Получается, что матрица задаёт некоторое преобразование, некоторую функцию: из одного векторного пространства размерности n в другое векторное пространство размерности m. Они будут часто возникать у нас. Кстати, такие преобразования называются линейными. Итак, что мы узнали? Матрицы — это, по сути, таблицы с числами, при этом вектор тоже является матрицей, у которой одна из размерностей равна 1. Через матрицы можно записывать системы линейных уравнений. Также матрицы задают линейные преобразования, или функции, из одних векторных пространств в другие. В следующем видео мы более подробно поговорим об умножении матриц на матрицу или матрицы на векторы и введём другие матричные операции.

Часть: Линейная алгебра. Матрицы

Модуль: Библиотеки Python и линейная алгебра

Описание модуля: На этой неделе мы познакомимся с Python-библиотеками, содержащими большое количество полезных инструментов: от быстрых операций с многомерными массивами до визуализации и реализации различных математических методов. Кроме того, мы освоим линейную алгебру — основной математический аппарат для работы с данными: в большинстве задач данные можно представить в виде векторов или матриц.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:


Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5