понедельник, 31 октября 2016 г.

Вторая производная и выпуклость

Урок: Вторая производная и выпуклость

Транскрибация урока: [БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы узнаем, зачем же нужна вторая производная, и что такое свойство выпуклости функций. Итак, как влияет знак производной на рост функции? Ну если производная не отрицательна, то функция возрастает. Если производная не положительна, то функция убывает, что понятно из направления касательной к графику функции в точке. Но что же будет, если сама производная будет возрастать или убывать? Какому свойству функции это будет соответствовать? Оказывается, что есть такое свойство. Это свойство выпуклости и свойство вогнутости. Выпуклой функцией называется функция, для которой касательная постоянно увеличивает свой угловой коэффициент при увеличении x, а вогнутой функцией называется функция, для которой касательная будет уменьшать угловой коэффициент с ростом x. Также в некоторых старых источниках используется терминология «выпуклая вниз функция» и «выпуклая вверх функция». Но мы будем использовать современную терминологию. Когда функция выпуклая, наклон касательной растет и производная растет. Следовательно, вторая производная должна быть не отрицательной. Аналогично для вогнутой функции — вторая производная должна быть не положительной. Если мы хотим потребовать строгой выпуклости, то есть отсутствия прямых участков на графике функции, то достаточно потребовать, чтобы производная от производной (ну то есть вторая производная) была больше нуля. Аналогично для вогнутости — достаточно потребовать, чтобы вторая производная была меньше нуля. Что интересно, используя свойства выпуклости, мы можем сформулировать достаточное условие экстремума. Если выполнено необходимое условие (производная равна нулю), и при этом вторая производная больше нуля, то мы имеем дело с выпуклой функцией. Это означает, что в точке у нас точно будет минимум. Аналогично, если вторая производная меньше нуля и выполнено необходимое условие экстремума, то мы имеем дело с вогнутой функцией, и это означает, что у нас точно будет максимум. Таким образом, выпуклость или вогнутость функции превращает необходимое условие экстремума в достаточное. Можно ввести и более общее определение выпуклости функции. Для этого рассмотрим отрезок, соединяющий какие-то точки графика функции. Если функция при этом проходит под этим отрезком, будем называть такую функцию выпуклой. Аналогично, если она будет проходить над этим отрезком (и только над), будем называть ее вогнутой. Такое определение сработает и для функций, у которых нет производной в некоторых точках. Ну, например, можно разобраться в том, что функция y = |x| — это выпуклая функция. Выпуклость или вогнутость на некотором интервале приводит к тому, что наименьшее значение на нем может быть только одно. Давайте немножко разберемся с этим. В случае минимума функция должна быть выпукла в окрестности минимума. Это понятно из графика. В случае максимума функция должна быть вогнута в окрестности максимума. Это тоже понятно из графика. С другой стороны, у нас может быть более одного максимума или более одного минимума. Но при этом, если мы хотим, чтобы было хотя бы два максимума, то у нас найдется и минимум. Это тоже несложно увидеть, попробовав построить различные графики. Может быть один случай, когда есть два минимума, но при этом нет максимума. Это разрыв. Ну, например, у нас может быть некоторая вертикальная асимптота, и отдельные части графика будут выпуклыми. Но в случае разрыва у нас нарушится выпуклость всей функции. Это тоже можно увидеть, попытавшись построить разные примеры. То, что мы сейчас разобрали, конечно, ни капельки не доказательство. Это скорее попытка убедить себя, что это все работает так. Но формальное доказательство не так сложно. И с ним при желании можно ознакомиться либо в литературе, либо в Википедии, либо даже придумать самостоятельно. Подведем итог. Знак первой производной связан с монотонностью функции, то есть с возрастанием или убыванием. Знак второй производной связан с выпуклостью функции. Выпуклость и вогнутость может быть определена и в общем случае, когда не во всех точках есть производная функции. Выпуклость и вогнутость обеспечивают единственность экстремума, чем в дальнейшем мы еще будем пользоваться.

Часть: Производная и её применения

Модуль: Введение

Описание модуля: Добро пожаловать! На этой неделе мы начнём осваивать язык Python — один из главных инструментов специалиста в науке о данных, и вспомним кое-что о производных, которые активно используются при настройке моделей машинного обучения.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5