понедельник, 24 октября 2016 г.

Функции и их свойства

Урок: Функции и их свойства

Транскрибация урока: [БЕЗ_ЗВУКА] Итак, поскольку мы начинаем знакомство с математикой в приложении к анализу данных, давайте двигаться с самого начала, то есть с функций и их свойств. Формально можно было бы определить функцию как отображение из множества, называемого областью определения функции, в множество, называемое областью значения функции. И сразу бы возникло много вопросов. А что такое отображение, а что такое множество, а какие это понятия аксиоматичные и так далее. Поэтому мы с вами будем говорить по-простому. Просто функция — это некоторое соответствие между различными значениями аргумента x и значениями функции f (x). При этом каждому значению аргумента соответствует только одно значение f (x). Это важное свойство функции. Ну и для начала будем знакомиться с функциями действительного переменного, то есть аргументы у этих функций будут просто действительными, или вещественными, как их иногда еще называют, числами. У функции есть область определения, это те значения x, для которых функция задана. Ну, например, если мы рассматриваем функцию f (x) = 1 / x, понятно, что для x = 0 эта функция не определена, значит 0 не входит в область определения. И область значений функции — это просто все значения, которые функция может принимать. На слайде вы видите простые примеры. Например, функция f (x) = 1 / (x − 1), область оперделения — все действительные числа без единицы, область значений — все действительные числа. Функция f (x) = 2 в степени x, область определения — все действительные числа, а область значений — от 0 до плюс бесконечности, не включая 0. В самом деле, мы не сможем подобрать такой x, чтобы получилось отрицательное число, если мы говорим о действительных x. Для того чтобы как то визуализировать функцию одного переменного, люди придумали строить графики. Ну то есть мы можем ввести некоторую систему координат на плоскости, x и y, и построить некоторую кривую, у которой каждая точка будет иметь некоторую координату x и координату y, равную f (x), где f — это функция для которой мы строим график. Но при этом не все графики такие замечательные, как тот, что был на предыдущем слайде. Вы наверное обратили внимание, что на нем не было не единого разрыва. А вот здесь, на этом слайде, мы уже видим график, у которого разрывы в точках a и b. И обратите внимание, они совершенно разные по поведению функции рядом с этими точками. Действительно, непрерывность — это свойство, которое в бытовом смысле можно просто прокомментировать как возможность нарисовать график функции одним росчерком. Это довольно интересное свойство, которое есть не у всех функций и не во всех точках оно может быть. И разрывы бывают самые разные. Ну, например, просто может быть так, что одна точка немножко выбивается из наших ожиданий, ну и если бы мы могли функцию в этой точке поменять и переставить ее в то место, где мы хотели бы, наверное, ее видеть, то функция снова станет непрерывной. Бывают разрывы, похожие на внезапные скачки значения функции. В этом случае, конечно, уже нельзя так просто сделать функцию непрерывной. А бывают разрывы, связанные с тем, что у функции есть асимптота. Асимптота — это прямая, к которой функция может приближаться очень близко, но при этом ее не будет пересекать. Например, такая прямая будет для функции y = 1 / ( x − 1). В то же время не надо думать, что все асимптоты должны быть направлены обязательно вертикально, бывают и наклонные асимптоты, что иллюстрирует график на слайде. Но это уже немножко не про разрывы. Есть еще одно интересное свойство, это гладкость. Функции бывают гладкими. Что это такое — мы поговорим несколько более подробно в следующем видео, а сейчас я хочу создать базовое интуитивное понимание. Смотрите, у графика функции могут быть не только разрывы, но и какие-то углы. И вот гладкость — это отсутствие углов. То есть на рисунке, который вы видите сейчас на слайде, есть две точки, в которых функция не гладкая. В остальных точках всё хорошо. Можно даже придумать пример функции, которая не будет гладкой ни в одной точке. Классический такой пример вы видите сейчас на слайде. Это функция Вейерштрасса. Конечно, в реальной жизни у нас редко встречается ситуация, когда функция гладкая во всех точках. В то же время, конечно, не стоит ожидать, что функции из реальной жизни будут негладкие в каждой точке. Обычно мы имеем какой-то промежуточный случай, который мешает нам пользоваться свойством гладкости, но в то же время не настолько критичен, как в случае функции Вейерштрасса. Подведем итог. Мы с вами узнали, как можно в простом смысле определить, что такое функция. Узнали о свойстве непрерывности функции, про то, что разрывы бывают разные. И немножко познакомились со свойством гладкости функции. В следующем видео мы поговорим про производную и еще чуть лучше поймем свойство гладкости.

Часть: Производная и её применения

Модуль: Введение

Описание модуля: Добро пожаловать! На этой неделе мы начнём осваивать язык Python — один из главных инструментов специалиста в науке о данных, и вспомним кое-что о производных, которые активно используются при настройке моделей машинного обучения.

Курс: Математика и Python для анализа данных

Описание курса: Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Данный курс направлен на то, чтобы сформировать этот фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов.

Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных.

В этом курсе вы познакомитесь с фундаментальными математическими понятиями, необходимыми для анализа данных, и получите начальный навык программирования на Python. Курс состоит из двух больших частей. Первая часть курса – практическая, она посвящена языку программирования Python. Вы познакомитесь с синтаксисом и идеологией языка, научитесь писать простые программы. Также вы узнаете о библиотеках, которые часто применяются на практике для анализе данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas. Вторая часть курса посвящена таким разделам математики как линейная алгебра, математический анализ, методы оптимизации и теория вероятностей. При этом, упор делается на разъяснение математических понятий и их применение на практике, а не на вывод сложных формул и доказательство теорем.

Программа:
  • Введение
  • Знакомство с курсом
  • Python, уровень 0
  • Знакомство с синтаксисом Python
  • Производная и её применения
  • Немного обсуждений
  • Библиотеки Python и линейная алгебра
  • Библиотеки NumPy, Matplotlib, SciPy, Pandas
  • Линейная алгебра. Векторы
  • Линейная алгебра. Матрицы
  • Оптимизация и матричные разложения
  • Градиент и оптимизация гладких функций
  • Оптимизация негладких функций
  • Матричные разложения
  • Случайность
  • Вероятность и случайные величины
  • Статистики
  • Бонусный урок
Описание преподавателя:
  • Евгений Рябенко — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Интеллектуальные системы" ФУПМ МФТИ, Data Scientist Фабрики данных Яндекса. Соавтор и преподаватель курса "Прикладной статистический анализ данных", который читается в МФТИ, МГУ и ВШЭ. Занимается анализом данных, био- и нейроинформатикой, кормит синиц.
  • Евгений Соколов — руководитель группы анализа неструктурированных данных в Yandex Data Factory. Окончил факультет ВМК МГУ в 2013 году, сейчас пишет диссертацию про матричные разложения в аспирантуре там же. Ведет практические занятия по машинному обучению на ВМК МГУ и читает лекции на ФКН ВШЭ. Преподаватель Школы Анализа Данных Яндекса.
  • Виктор Кантор – старший преподаватель кафедры “Алгоритмы и технологии программирования” ФИВТ МФТИ, руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Ведет лекции и семинары в МФТИ на кафедрах “Алгоритмы и технологии программирования”, “Анализ данных”, “Банковские информационные технологии”, “Компьютерная лингвистика” и “Распознавание изображений и обработка текстов”.
  • Эмели Драль – преподаватель ШАД и руководитель исследовательской группы Yandex Data Factory. Окончила РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра “Информационные технологии”. Разрабатывала учебные материалы и вела такие курсы как “Технологии разработки программных систем”, “Объектно-ориентированный подход к разработке программных систем”, “Методы интеллектуального поиска”. В МФТИ ведет семинары курса "Машинное обучение" на ФИВТ, кафедра “Алгоритмы и технологии программирования”.
Категория: Наука о данных

Описание категории: На специализациях и курсах по науке о данных преподаются основы интерпретации данных, проведения различных видов анализа, понимания и представления практических выводов. Начинающие и продолжающие учащиеся освоят такие темы, как качественный и количественный анализ данных, инструменты и методы манипулирования данными, а также алгоритмы машинного обучения.

Тематика: Анализ данных

Материал:



Список литературы

Линейная алгебра
Виктор Кантор:
  • Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1998) — МГУ.
  • Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (2011) — МФТИ.
Евгений Рябенко:
  • Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения (2001) — понятный кусок про матричные разложения.
Математический анализ
Виктор Кантор:
  • Ильин, Позняк, Основы математического анализа (2005) — МГУ.
  • Тер-Крикоров, Шабунин. Курс математического анализа (2001) — МФТИ, много примеров.
  • Иванов. Лекции по математическому анализу (2000) — МФТИ, очень короткое, но полное изложение.
Методы оптимизации
Евгений Рябенко:
  • Нестеров. Методы выпуклой оптимизации (2010) — математически строгое введение в оптимизацию от живого классика.
  • Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization (2004) — идеальная книга по классической оптимизации, много интересных постановок задач.
  • Schneider, Kirkpatrick. Stochastic Optimization (2006) — стохастическая оптимизация во всём многообразии.
Теория вероятностей и статистика
Евгений Соколов:
  • Dekking, Kraaikamp, Lopuhaa, Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Understanding Why and How (2005) — доступная книга, описывающая базовые понятия, теоремы и методы; разбирается очень много примеров, тесно связанных с задачами машинного обучения и анализа данных.
Виктор Кантор:
  • Лагутин. Наглядная математическая статистика (2007) — в основном статистика, но есть и небольшое введение в теорию вероятностей. Стоит читать, кроме глав про классификацию и анализ данных, там изложение не слишком современно.
  • Чжун, АитСахлиа. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика (2007) — очень простое изложение.
  • Отличные лекции с мехмата Новосибирского Государственного Университета: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf — теория вероятностей, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf — математическая статистика.
Евгений Рябенко:
  • Diez, Barr, Çetinkaya-Rundel, Dorazio. Advanced High School Statistics (2015) — вводная книга, программа соответствует типичному курсу Statistics 101 хорошего западного университета.
  • DasGupta. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics (2011) — для смелого читателя, рассматриваются в том числе достаточно высокоуровневые методы.
Python
Эмели Драль:
  • Классические руководства по Python: https://docs.python.org/2/tutorial/ (2.7), https://docs.python.org/3/tutorial/(3.5)
  • Reitz. The Hitchhiker’s Guide to Python http://docs.python-guide.org/en/latest/ — довольно полное руководство, в котором рассматриваются вопросы от установки, работы с виртуальным окружением и работы в различных IDE до основных структур языка с примерами кода.
  • Google python class https://developers.google.com/edu/python/ — небольшой бесплатный онлайн-курс по Python для слушателей с минимальным опытом программирования.
Книги, для тех, кому захочется основательно изучить Python:
  • Lutz. Learning Python (2013) — с этой книги можно начинать изучение, она покрывает все основные структуры языка.
  • Lutz. Python Pocket Reference (2015) — подробный справочник.
Конспекты
https://drive.google.com/open?id=0B4sIH7qjgc24cVh0aTNnMEM0eXc

Интересные ресурсы
Ресурсы по материалам 1 недели:
Здесь http://bit.ly/29hALFk вы можете узнать, какие языки программирования сегодня являются самыми востребованным. Интересно, какое место в рейтинге занимает python?

Многие часто спрашивают, почему мы выбрали для специализации python, а не R? Мы подошли к выбору со всей ответственностью, рассмотрели плюсы и минусы обоих вариантов и остановились на python, в первую очередь, из-за простоты изучения, читаемости кода и универсальности языка. Здесь вы можете почитать статью о сравнении языков python и R http://bit.ly/29lkL5z

Ресурсы по материалам 2 недели:
На второй неделе курса Вам предстоит знакомство с библиотекой Pandas для работы с данными в виде таблиц, SciPy и NumPy для работы со статистикой, линейной алгеброй, оптимизационными задачами, а также Matplotlib для визуализации данных. Эти библиотеки очень функциональны, просты для изучения и популярны в мире анализа данных. Они настолько широко распространены, что часто можно встретить их использование для вот таких необычных задач: Python и красивые ножки http://bit.ly/2an3FTt

Занятное дополнение к материалам второй недели:
  • Знакомство с Python, Numpy, Scipy, Matplotlib http://bit.ly/2a4yd06
  • Курс Делфтского Технического Университета про Python и его использование в научных вычислениях http://bit.ly/29GCt4J
Ресурсы по материалам 4 недели:
Статистика — важный инструмент познания, дающий нам механизм порождения новых знаний из наблюдений за окружающим миром. Научиться им пользоваться может быть непросто; если материал лекций покажется Вам сложным, посмотрите, как понятия статистики объясняются на котиках http://bit.ly/29T53jd или в танце http://bit.ly/29PH9l5